Kada kupola izgubi ravnotežu: Istraživanje asimetrične zome forme

Zome kupola sa pomerenim centrom je geometrijska struktura zasnovana na pravilnim spiralnim linijama (zome linijama), pri čemu osnova kupole ostaje fiksirana u centru koordinatnog sistema — tačno u tački (0, 0) u ravni osnove. Za razliku od standardne zome kupole, kod koje se svi spiralni elementi konvergiraju ka centralnoj tački koja se nalazi tačno iznad osnove (simetrična vertikala), u ovoj varijanti vrh kupole se pomera horizontalno za zadatu vrednost center_offset.

Ovaj pomak vrha znači da se geometrijski centar kupole ne nalazi više direktno iznad baze, već se struktura „naginje“ ka zadatom pravcu. Spirale i strukturalni elementi koji čine mrežu kupole sada opisuju zakrivljene linije koje se prilagođavaju novom vrhu, što stvara dinamičniji i vizuelno izražajniji oblik.

Ovakva kupola više nije radijalno simetrična oko svoje vertikalne ose, već ima blago deformisan oblik u pravcu pomeranja centra, što može imati funkcionalne ili estetske prednosti — na primer u arhitektonskim rešenjima koja zahtevaju usmeravanje svetla, otvaranje pogleda ili specifičan nagib prema određenoj tački u prostoru.

Program

Opis ponašanja programa, korak po korak:

1. Parametri konstrukcije kupole

• n: broj spirala (npr. 24)
• segs: broj segmenata u svakoj spirali (npr. 24)
• d: prečnik osnove kupole
• h: visina vrha kupole
• thickness: debljina „žica“ (cilindara)
• center_offset: vektor pomeraja vrha kupole (npr. [1.0, 0.0] znači pomeraj 1 jedinicu udesno)

2. Funkcija generate_spiral(...)

• Generiše tačke spirale koje se dižu od osnove do vrha kupole.
• Svaka tačka se računa u odnosu na pomereni centar kupole:x = sin(...) * d/4 + sin(beta)*d/4 + center_offset[0] * (j / segs) y = cos(...) * d/4 + cos(beta)*d/4 + center_offset[1] * (j / segs) => Vidiš da center_offset deluje postepeno duž visine kupole:
  • Na dnu je 0,
  • Na vrhu ima pun efekat (j/segs = 1),
  • Čime se model pomera u „kosinu“.

3. Funkcija cylinder_between_points(p1, p2, ...)

• Između svaka dva uzastopna vrha spirale generiše se cilindar koji vizuelno čini deo žičane konstrukcije.

4. Glavna funkcija generate_mesh(...)

• Poziva spiralne generatore (desne i leve spirale),
• Kombinuje ih u jedan 3D mesh,
• Spaja sve cilindre u jednu mrežu sa tačkama (verts) i trouglastim površinama (faces).

5. Izvoz rezultata

• Na kraju, rezultat se izvozi u .ply i .stl format: tmesh.export("helix_zome_ogledalo.ply") mesh.export("helix_zome_ogledalo.stl")

Efekat pomerenog centra (center_offset):

• Ako je center_offset = [0, 0] => savršena zome kupola.
• Ako je center_offset = [1, 0] => vrh kupole je pomeren udesno, spirale više nisu simetrične.
• Možeš koristiti i [-1, 0], [0, 1], [0.5, 0.5] itd. za drugačije deformacije.

Vizuelizacija

• Dobijeni .stl i .ply fajlovi mogu se otvoriti u programima kao što su:
  • MeshLab
  • Blender
  • FreeCAD
  • Fusion 360
  • ili web pregledači za 3D modele

Instalacija potrebnih zavisnosti:

python3 -m pip install numpy trimesh

Programski kod

Naziv fajla: asimetricna_zome_kupola.py

#asimetricna_zome_kupola.py
# Instalacija potrebnih zavisnosti:python3 -m pip install numpy trimesh



import numpy as np
import trimesh
from math import sin, cos, pi

def rotation_matrix(v1, v2):
    a = v1 / np.linalg.norm(v1)
    b = v2 / np.linalg.norm(v2)
    v = np.cross(a, b)
    dot = np.dot(a, b)
    if np.allclose(dot, 1):
        return np.eye(3)
    if np.allclose(dot, -1):
        return -np.eye(3)
    s = np.linalg.norm(v)
    km = np.array([[   0, -v[2],  v[1]],
                   [ v[2],    0, -v[0]],
                   [-v[1],  v[0],    0]])
    return np.eye(3) + km + (km @ km) * ((1 - dot) / (s*s))

def cylinder_between_points(p1, p2, radius=0.01, sections=12):
    vec = p2 - p1
    length = np.linalg.norm(vec)
    if length < 1e-6:
        return np.array([]), np.array([])
    dir = vec / length
    angles = np.linspace(0, 2*pi, sections, endpoint=False)
    circle = np.stack([np.cos(angles)*radius, np.sin(angles)*radius, np.zeros_like(angles)], axis=1)
    base = circle
    top = circle + np.array([0, 0, length])
    verts = np.vstack([base, top])
    R = rotation_matrix(np.array([0,0,1]), dir)
    verts = verts @ R.T + p1
    faces = []
    n = sections
    for i in range(n):
        j = (i+1) % n
        faces += [[i, j, j+n], [i, j+n, i+n]]
    return verts, np.array(faces)

def generate_spiral(n, segs, d, h, direction, center_offset=np.array([0.0, 0.0])):
    spirals = []
    for i in range(n):
        beta = 2 * pi * i / n
        spiral = []
        for j in range(segs + 1):
            alpha = pi * j / segs
            theta = alpha if direction == 1 else -alpha

            # Linearni pomak centra zavisno od visine alpha (od 0 na dnu do 1 na vrhu)
            offset_x = center_offset[0] * (alpha / pi)
            offset_y = center_offset[1] * (alpha / pi)

            x = sin(theta + beta) * d/4 + sin(beta)*d/4 + offset_x
            y = cos(theta + beta) * d/4 + cos(beta)*d/4 + offset_y
            z = (alpha/pi) * h
            spiral.append([x, y, z])
        spirals.append(np.array(spiral))
    return spirals

def generate_mesh(n, segs, d, h, thickness, center_offset):
    verts_list, faces_list = [], []
    offset = 0

    spirals_right = generate_spiral(n, segs, d, h, direction=1, center_offset=center_offset)
    for spiral in spirals_right:
        for j in range(segs):
            p1, p2 = spiral[j], spiral[j+1]
            v, f = cylinder_between_points(p1, p2, thickness)
            if len(v):
                verts_list.append(v)
                faces_list.append(f + offset)
                offset += len(v)

    spirals_left = generate_spiral(n, segs, d, h, direction=-1, center_offset=center_offset)
    for spiral in spirals_left:
        for j in range(segs):
            p1, p2 = spiral[j], spiral[j+1]
            v, f = cylinder_between_points(p1, p2, thickness)
            if len(v):
                verts_list.append(v)
                faces_list.append(f + offset)
                offset += len(v)

    return np.vstack(verts_list), np.vstack(faces_list)

if __name__ == "__main__":
    n = 24         # broj spirala po smeru
    segs = 24      # broj segmenata po spirali
    d = 8.0        # prečnik kupole
    h = 3       # visina kupole
    thickness = 0.01

    # Pomak centra kupole u X i Y na vrhu kupole; osnova je na (0,0)
    center_offset = np.array([3, 0.0])  # pomeraj desno za 0.5 jedinica

    verts, faces = generate_mesh(n, segs, d, h, thickness, center_offset)
    mesh = trimesh.Trimesh(vertices=verts, faces=faces, process=False)
    mesh.export("helix_zome_offset_center.ply")
    mesh.export("helix_zome_offset_center.stl")
    print(" Izvezeni: helix_zome_offset_center.ply, helix_zome_offset_center.stl")

Reference

Naučni radovi & članci

1. „Analysis on asymmetric aberration of special domes“
   • De Wen Cheng i saradnici (2006, Optical Technique) analiziraju asimetrične optičke kupole (dakle deformacije kupolne površine koje uvode astigmatizam, koma i druge aberacije) Koncept “asimetrične kupole” nalazi primenu i u optici, što može biti korisno kao analog za geometrijsku deformaciju.
     https://pure.bit.edu.cn/en/publications/analysis-on-asymmetric-aberration-of-special-domes
2. MDPI: „In‑Depth Verification of a Numerical Model for an Axisymmetric RC Dome“ (2021)
   • Iako fokusira se na simetrične kupole, metodologija numeričkog modeliranja može se prilagoditi i asimetričnom slučaju
     https://www.mdpi.com/2073-8994/13/11/2152
3. „The Influence of Dome Geometry on the Results of Modal and Buckling Analysis“ (2023, Appl. Sci.)
   • Detaljno proučava kako razne geometrije kupole (uključujući asimetrične) utiču na modalne analize i propuste u konstrukciji – stoga predstavlja dobar tehnički temelj https://www.mdpi.com/2076-3417/13/4/2729
4. „Analysis of Lightweight Structure Mesh Topology of Geodesic Domes“ (2024, Appl. Sci.)
   • Iako se bavi geodetskim kupolama, diskusija o mesh topologiji i prilagodljivosti oblika je relevantna i za kromatske ili pomerene zome modele https://www.mdpi.com/2076-3417/14/1/132

Knjige i reference o zome kupolama

• Paul Hildebrandt & Clark Richert, “Domes, Zomes, and Drop City” (2021) – radionička konferencija Bridges. Dotiče različite konstrukcije zome kupola, i iako prvenstveno simetrične, mogu poslužiti kao polazna osnova za razumevanje strukture https://en.wikipedia.org/wiki/Zome_%28architecture%29
• Steve Baer, “Zome Primer” (1970) – klasičan uvod u zome kupole i njihovu topologiju https://en.wikipedia.org/wiki/Zome_%28architecture%29