Grigorij Pereljman

Grigorij Pereljman ( Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н ) je ruski matematičar koji je postao poznat širom sveta jer je dokazao Poincaréovu hipotezu, jedan od najvažnijih i najduže nerešenih problema u matematici.

Ukratko, šta je Poincaréova hipoteza?

To je hipoteza iz oblasti topologije, grane matematike koja proučava oblike i prostore. Hipotezu je postavio Henri Poincaré 1904. godine i ona glasi, u pojednostavljenom obliku:

„Svaka zatvorena trodimenzionalna raznovrsnost (manifold) bez rupa, koja je jednostavno povezana, topološki je ekvivalentna trodimenzionalnoj sferi.“

Drugim rečima: ako imate neki trodimenzionalni oblik koji nema “rupe” i ako se svaka petlja na njemu može “stegnuti” u tačku (kao što može na površini sfere), onda je taj oblik zapravo samo drugačiji način prikazivanja 3D sfere.

Zašto je to važno?

Zato što je razumevanje oblika prostorâ u više dimenzija ključno za fundamentalnu matematiku i fiziku (npr. teoriju svemira). Poincaréova hipoteza je stajala kao jedan od najvećih nerazrešenih problema u topologiji više od jednog veka.

Šta je Pereljman uradio?

Grigorij Pereljman je 2002. i 2003. godine objavio tri rada na internetu (arXiv), u kojima je koristio tehniku nazvanu Ricci flow, koju je ranije razvio američki matematičar Richard Hamilton, ali je Perelman uspeo da reši ključne probleme koje Hamilton nije mogao – posebno kako da se nose s “eksplozijama” (singularnostima) koje se javljaju u toku deformacije oblika.

Perelman je uspeo da pokaže kako se bilo koja trodimenzionalna raznovrsnost može “ispeglati” tako da se vidi da li je sfera – i to je bio dokaz Poincaréove hipoteze.

Priznanja koje je odbio

Zbog ovog otkrića, Perelman je:

• 2006. nagrađen Fieldsovom medaljom, najvišim priznanjem u matematici – odbio je da je primi.
  2010. dobio nagradu od milion dolara od Clay Mathematics Institute (jer je Poincaréova hipoteza bila jedan od 7 Milenijumskih problema) – i to je odbio.

Zašto je to odbio?

Pereljman je rekao da ga ne zanima slava ni novac, i da se ne slaže s načinom na koji matematička zajednica funkcioniše. Takođe je isticao da je Hamilton zaslužan za veliki deo rada. Nakon toga se povukao iz javnosti i živi veoma povučeno u Rusiji.

🔵 1. Šta znači „topološki ekvivalentno sferi”?

U topologiji, ne gledamo veličinu, dužinu ili tačan oblik — zanima nas kako je nešto povezano, a ne kako izgleda. Dva objekta su topološki ekvivalentni ako se jedan može pretvoriti u drugi istezanjem, savijanjem ili uvijanjem, ali bez cepanja ili lepljenja.

✅ Primer:

• Lopta (puna sfera) i balon su topološki ekvivalentni.
• Oba imaju unutrašnjost i nemaju „rupu“ – ako povučeš gumeni balon, možeš ga oblikovati da liči na loptu, i obrnuto.

❌ Kontra-primer:

• Šolja za kafu sa ručkom NIJE topološki ekvivalentna lopti jer ima „rupu“ u dršci.
• Ona je topološki ista kao prsten (torus) — oba imaju jednu rupu.

Dakle, 3D raznovrsnost (nešto što je kao površina u 3D prostoru) je topološki ekvivalentna sferi ako nema rupa i ako je „jednostavno povezana“, tj. ako se svaka petlja na njoj može stegnuti u tačku — baš kao na površini balona ili lopte.

🔥 2. Šta je Ricci flow (Riči flou)?

Zamisli da imaš neku izgužvanu, neravnu površinu (ili više dimenzionalni prostor), i da počneš da je peglaš tako da se ravnomerno rasporede zakrivljenja.

🧼 Vizualizacija:

• Kao kad peglaš zgužvanu tkaninu: ona se postepeno ispravlja.
• Ili još bolje: zamisli da na površinu staviš mast koja se ravnomerno širi i puni udubljenja, dok višak sa ispupčenja teče prema udubljenima.

Ricci flow je matematička procedura koja „pegla“ prostor tako da se zakrivljenost izjednačava. Njegova formula je slična jednačinama koje opisuju toplotu: to je kao da se toplotna energija širi kroz prostor i izravnava „neravnine“.

🔍 Kako to pomaže Pereljmanu?

• Pereljman koristi Ricci flow da „pegla“ složene prostore.
• Kad tokom tog „peglanja“ naiđe na singularnosti (tačke gde sve „pukne“), on ih precizno analizira i iseče prostor, a zatim nastavlja sa procesom.
• Na kraju, ako ostane samo nešto što je kao sfera, to znači da je prvobitni prostor bio topološki sfera — i to dokazuje Poincaréovu hipotezu.

🧠 U jednoj rečenici:

Pereljman je pokazao da se svaki zatvoreni 3D prostor bez rupa može „ispeglati“ u sferu ako zadovoljava određene uslove, koristeći Ricci flow — što znači da jeste sfera, topološki gledano.

🔄 Kako se deformiše torus (prsten) pomoću Ricci flowa?

Torus je oblik kao krofna ili gumeni prsten – ima jednu rupu u sredini, i to je ključno. On nije topološki ekvivalentan sferi, jer ima „topološki rod 1” (ima jednu rupu).

Ricci flow pokušava da „izravna” zakrivljenost svuda po površini, ali torus ima različitu zakrivljenost na različitim mestima:

• Unutrašnji deo (blizu rupe) je negativno zakrivljen (zakrivljen kao sedlo).
• Spoljni deo (dalje od centra) je pozitivno zakrivljen (kao površina lopte).
• Gornji i donji deo su ravni ili blago zakrivljeni.

🔥 Šta se dešava tokom Ricci flowa?

Kada Ricci flow krene da deluje:

1. Zakriljena mesta se “skupljaju” – pozitivna zakrivljenost smanjuje dimenzije (kao da toplota isparava).
2. Negativna zakrivljenost se “širi”, pokušava da raste.

Ali torus ne može sve da „izravna” u savršenu sferu jer njegova topologija (rupa) to ne dozvoljava.

Zbog toga se tokom Ricci flowa:

• Torus počinje da kolabira u sredini — rupa se sužava.
• Na kraju, nastaje singularnost — prostor se „cepka” u tom delu jer Ricci flow ne može da ga „ispegla” bez prekida.

📉 Kraj deformacije

Bez dodatnih intervencija (kao što ih je Pereljman koristio za sfere), Ricci flow ne može da pretvori torus u sferu, jer je topološki drugačiji objekat. On tokom deformacije dođe do „neuspeha” – singularnosti koje se više ne mogu rešiti bez prekidanja strukture.

Evo primera jednostavne animacije u Pythonu koja vizuelno prikazuje kako se torus (prsten) deformiše pod delovanjem nečega nalik Ricci flowu – tj. kako rupa u torusu polako nestaje.

Koristićemo matplotlib za animaciju i numpy za izračunavanje geometrije.

pip install numpy matplotlib

programski kod:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Parametri torusa
R = 2  # velika poluprečnik (udaljenost od centra do središta cevi)
r0 = 0.8  # početna vrednost malog poluprečnika (debljina cevi)
steps = 100  # broj koraka u animaciji

# Parametri mreže
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 60)
phi = np.linspace(0, 2 * np.pi, 30)
theta, phi = np.meshgrid(theta, phi)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.set_box_aspect([1, 1, 1])
ax.axis('off')

# Funkcija za crtanje torusa
def update(frame):
    ax.cla()
    ax.axis('off')
    ax.set_box_aspect([1, 1, 1])
    ax.set_xlim(-3, 3)
    ax.set_ylim(-3, 3)
    ax.set_zlim(-3, 3)

    # Simulacija Ricci flowa: postepeno smanjenje unutrašnjeg radijusa r
    r = r0 * (1 - 0.9 * frame / steps)  # rupa nestaje
    if r < 0.01:
        r = 0.01  # izbegni kolaps

    # Parametarske jednačine torusa
    x = (R + r * np.cos(phi)) * np.cos(theta)
    y = (R + r * np.cos(phi)) * np.sin(theta)
    z = r * np.sin(phi)

    ax.plot_surface(x, y, z, color='lightblue', edgecolor='k', linewidth=0.2, alpha=0.9)

    ax.set_title(f"Korak {frame + 1} / {steps}", fontsize=12)

ani = FuncAnimation(fig, update, frames=steps, interval=100)
plt.show()

📌 Šta se dešava u animaciji?

• Torus kreće sa debelom „rupom“.
• Kako vreme prolazi, unutrašnji radijus (r) se smanjuje.
• Vizualno izgleda kao da rupa nestaje, a torus se pretvara u spljošten objekat, koji bi u stvarnosti pod Ricci flowom doživeo singularnost (matematički „kolaps“).

Linkovi:

1. Grisha Perelman: Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds
   https://arxiv.org/abs/math/0307245
2. Grisha Perelman: Ricci flow with surgery on three-manifolds
   https://arxiv.org/abs/math/0303109
3. Grisha Perelman: The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications
   https://arxiv.org/abs/math/0211159