Sažetak
Većina ljudi na svetu koristi brojevni sistem sa bazom 10 – odnosno broji od 0 do 9, pa zatim prelazi na 10, 11 i tako dalje. Zašto baš 10? Zašto ne baza 4, 8 ili 12? U ovom radu pokazujemo da odgovor leži u našem telu: imamo deset prstiju. Ljudi su od pamtiveka brojali na prstima, i tako se nametnula desetka. Međutim, postoji i zanimljiv detalj: ljudski mozak može na prvi pogled tačno da prepozna samo do četiri predmeta (psiholozi to zovu „subitizing“, ali ovde ćemo reći trenutno prepoznavanje). Broj pet već moramo da izbrojimo – peti prst je prvi koji zahteva brojanje. Zato je broj 5 poseban, a deset (5+5) je prirodna posledica toga što imamo dve ruke. Rad objašnjava ovu vezu i zaključuje da naš brojevni sistem nije „pao s neba“ – on je izrastao iz ljudskog tela i načina na koji naš mozak vidi male količine.
Ključne reči: brojanje na prste, baza 10, kako mozak vidi brojeve, trenutno prepoznavanje malih količina, zašto je desetka glavni broj.
1. Uvod: čudna pobeda broja 10
Zamislite da treba da zapisujete brojeve. Možete koristiti različite osnove (baze). Na primer, računari koriste binarni sistem – bazu 2 (samo nule i jedinice). Ljudi su tokom istorije koristili baze 5, 8, 10, 12, 20, čak i 60 (Babilonci, što nam je ostavilo 60 minuta u satu). Ipak, baza 10 je danas gotovo univerzalna. Zašto?
Neki misle da je 10 poseban broj – prvi dvocifreni, deset prstiju, pa i prva desetica. Ali zašto onda nisu pobedile baza 5 (jedna ruka) ili baza 20 (ruke i noge)? Lak odgovor je „zato što imamo deset prstiju“. Međutim, taj odgovor samo pomera pitanje: zašto baš deset prstiju? To je evolucijska slučajnost, ali i to ne objašnjava zašto nismo odabrali bazu 5. U ovom radu ćemo pokazati da presudnu ulogu igra to kako naš mozak bez brojanja vidi male količine.
2. Kako mozak vidi male količine – trenutno prepoznavanje
Da li ste primetili da kada vidite jednu, dve, tri ili četiri tačke na papiru, skoro trenutno znate koliko ih ima? Ne morate da brojite „jedan, dva, tri, četiri“ – jednostavno vidite da su četiri. To se zove trenutno prepoznavanje malih količina. Psiholozi imaju grčku reč za to – subitizing – ali mi ćemo ostati pri običnom izrazu.
Eksperimenti pokazuju (prvi ih je napravio Kaufman sa saradnicima 1949. godine) da za 1 do 4 predmeta ljudi tačno odgovaraju za manje od pola sekunde i gotovo nikad ne greše. Čim ima 5 predmeta, vreme se udvostruči i počinju greške. Za 5,6,7,… ljudi moraju da broje – tiho u sebi ili naglas. Znači, granica između „vidim“ i „brojim“ je broj 5.
Tabela ispod to jasno pokazuje:
| Broj predmeta | Kako mozak reaguje | Vreme reagovanja (otprilike) |
|---|---|---|
| 1 | Trenutno prepoznaje | ~0.4 sekunde |
| 2 | Trenutno prepoznaje | ~0.42 sekunde |
| 3 | Trenutno prepoznaje | ~0.45 sekundi |
| 4 | Trenutno prepoznaje | ~0.5 sekundi |
| 5 | Mora da broji | ~0.8 sekundi (i više grešaka) |
| 6+ | Broji ili grupiše | Još sporije |
Ova granica na broju 5 je ključna za sve što sledi.
3. Pet prstiju – kada telo „razmišlja“ drugačije od mozga
Naše ruke imaju po pet prstiju. To je broj koji ne možemo trenutno da prepoznamo! Kada ispružimo ruku sa svih pet prstiju, ne možemo na prvi pogled tačno reći „pet“ – moramo ili da ih izbrojimo ili da znamo da je to cela ruka. Evo paradoksa: naša ruka ima pet prstiju, ali naš mozak nije napravljen da vidi pet bez brojanja. Zato je pet poseban broj: to je prvi broj koji moramo aktivno da izbrojimo. Znajući to, ljudi su počeli da broje na prstima: prvo četiri prsta idu „lako“, a peti prst zahteva pažnju.
Kada smo izbrojali pet prstiju na jednoj ruci, prelazimo na drugu. Tako dobijamo 5+5 = 10. I eto baze 10.
Da smo imali po četiri prsta (kao neki izumrli gmizavci), verovatno bi naša prirodna baza bila 8, a granica između „trenutnog prepoznavanja“ i „brojanja“ bi bila između 4 i 5 – ali pošto 5 ne bismo ni imali, možda bi čitava matematika bila drugačija.
4. Druge baze – šta kaže istorija
Ljudi nisu uvek koristili bazu 10. Evo nekoliko primera:
- Baza 5 – neki narodi u Papui Novoj Gvineji broje samo na jednoj ruci: 1,2,3,4,5, pa onda „5 i 1“ za 6, itd. Ovo je retko, jer je nepraktično za veće brojeve.
- Baza 12 – Engleski sistem mera (12 inča = 1 stopa) i prodaja jaja po tuce (12). Dvanaest se lako deli sa 2,3,4,6 – što je zgodno za trgovinu. Ipak, 12 nije pobedila, verovatno zato što imamo samo deset prstiju.
- Baza 20 – Maje i Azteci su koristili ruke i noge (20 prstiju na rukama i nogama). Ostaci toga su u francuskom jeziku (80 se kaže „četiri puta dvadeset“).
- Baza 60 – Babilonci su kombinovali brojanje zglobova (4 prsta × 3 zgloba = 12) i prste druge ruke (5), pa 12×5 = 60. Odatle 60 minuta, 60 sekundi.
Dakle, sve ove baze su telesnog porekla. Baza 10 je samo najrasprostranjenija jer je najjednostavnija: dve ruke, deset prstiju, i granica trenutnog prepoznavanja na broju 5.
5. Zašto baza 10 nije samo telesna slučajnost – ima i matematičke prednosti
Da je baza 10 samo slučajnost, neki drugi sistem bi je lako zamenio. Međutim, baza 10 je i objektivno dobra. Ekonomična je: treba pamtiti samo deset cifara (0–9), a brojevi nisu predugi. Na primer, broj 1000 u bazi 10 ima četiri cifre. U bazi 4 imao bi pet cifara (13310 u bazi 4). U bazi 20 imao bi tri cifre (2, 10, 0 – ali bi trebalo izmisliti 10 novih simbola). Baza 10 je zlatna sredina: nije previše siromašna (kao baza 2 ili 4), a nije previše bogata (kao baza 20, gde treba učiti 20 simbola).
Možemo to matematički zapisati: dužina zapisa broja \(N\) u bazi \(b\) je približno \(\log_b N\). Broj potrebnih simbola je \(b\). Zbir (ili proizvod) ova dva pokazatelja je najmanji za baze između 8 i 12. I baš u tom intervalu je 10. Dakle, deca uče deset cifara, a brojevi nisu ni prekratki (što bi zahtevalo veliki broj cifara) ni predugi.
6. Šta ovo govori o broju 1 – završna misao
U prethodnim radovima smo se bavili pitanjem da li je broj 1 poseban. Pokazali smo da jeste poseban u formalnim definicijama (neutralan za množenje, nema prethodnika) i u našem načinu razmišljanja („prvi“). Ali ova priča o bazama pokazuje nešto drugo: broj 1 je samo deo jednog mnogo većeg sistema koji je ukorenjen u našem telu. Ruka ima pet prstiju, a peti prst nas tera da brojimo. Deset prstiju nam daje bazu 10. A prvi prst – to je jednostavno – početak. Ali taj početak nije ništa mistično; to je prvi prst na ruci, prva zapamćena cifra, prvi korak u brojanju.
Dakle, broj 1 je prvi među jednakima – važan, ali ne i vladar strukture.
7. Zaključak
Odgovor na pitanje „zašto brojimo na prste“ je dvojak:
- Zato što imamo deset prstiju – to je telesna činjenica.
- Zato što naš mozak ima granicu na broju 5 – prvi broj koji ne možemo da vidimo bez brojanja. Zato je 5 poseban, a 10 (5+5) prirodna posledica dve ruke.
Ovo objašnjenje povezuje biologiju, psihologiju i istoriju matematike. Pokazuje da matematika nije samo skup večnih istina koje lebde iznad nas – ona je i ljudski izum, oblikovan našim telom i načinom na koji mozak radi. I zato broj 1, iako koristan, nije apsolutni gospodar početka. Samo je – prvi.
Literatura i preporuke za čitanje
- Ifrah, Ž. (2000). Univerzalna istorija brojeva. Beograd: Clio. (Srpski prevod)
- Kaufman, E.L., Lord, M.V., Ris, T.V. i Folkman, Dž. (1949). Razlikovanje vizuelnog broja. American Journal of Psychology, 62, 498–525. (Originalni eksperiment o trenutnom prepoznavanju)
- Menninger, K. (1969). Number Words and Number Symbols. MIT Press. (Istorija brojanja na prste)
- Dehane, S. (2011). Brojevni čulo. Beograd: Psihopolis. (Kako mozak obrađuje brojeve – popularna knjiga)
Napomena za čitaoca: Ovaj rad je četvrti u nizu autora Aleksandra Maričića o filozofiji broja 1. Prethodni radovi bavili su se formalnom jedinstvenošću jedinice, strukturalizmom i Huserlovom fenomenologijom. Ovaj rad je namerno napisan jednostavnijim jezikom da bi bio razumljiv svima koji su se ikada zapitali zašto baš 10.