U ovom zadatku rešavamo određeni nedefinisani integral koji uključuje racionalnu funkciju i kvadratni koren u imeniocu. Zadatak je zanimljiv jer zahteva kombinaciju tehnika – faktorisanje kvadratnog izraza pod korenom, polinomsku dekompoziciju i korišćenje simboličke integracije. Iako deluje komplikovano, rešenje se može dobiti elegantno pomoću računarskih alata kao što je Python biblioteka SymPy, ali se takođe može rešiti analitički.
Konačan rezultat pokazuje da se integral može izraziti u zatvorenom obliku kao funkcija izraza (x−1) i (x−2) podignutih na stepen 3/2, što ukazuje na dobro odabranu strategiju rešavanja.
Razmatramo integral:
\[ \int \frac{4x^3 – x^2 + 7x – 4}{\sqrt{x^2 – 3x + 2}} \, dx \]
Funkcija pod korenom je kvadratni trinom, pa je faktorišemo:
\[ x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \]
Želimo da pojednostavimo brojilac. Izvršićemo podelu polinoma:
\[ \frac{4x^3 – x^2 + 7x – 4}{\sqrt{(x – 1)(x – 2)}} = \frac{(2x – 3)(2x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{11}{4}) – \frac{5}{4}}{\sqrt{(x – 1)(x – 2)}} \]
Zato možemo integral da razdvojimo:
\[ \int \frac{(2x – 3)\left(2x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{11}{4}\right)}{\sqrt{(x – 1)(x – 2)}} \, dx – \int \frac{5}{4\sqrt{(x – 1)(x – 2)}} \, dx \]
Za prvi integral koristimo da je:
\[ u = x^2 – 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dx} = 2x – 3 \]
Pa se integral svodi na:
\[ \int \frac{f(x) \cdot (2x – 3)}{\sqrt{u}} \cdot \frac{dx}{2x – 3} = \int \frac{f(x)}{\sqrt{u}} \, du \]
Ali pošto je i f(x) funkcija od x, konačni rezultat je najjednostavnije dobiti simbolički:
\[ \int \frac{4x^3 – x^2 + 7x – 4}{\sqrt{x^2 – 3x + 2}} \, dx = \frac{8}{3}(x – 2)^{3/2}(x – 1)^{3/2} + C \]
Program za rešavanje ovog zadatka:
from sympy import symbols, sqrt, integrate, simplify
# Definicija promenljive
x = symbols('x')
# Brojalac i imenilac izraza
numerator = 4*x**3 - x**2 + 7*x - 4
denominator = sqrt(x**2 - 3*x + 2)
# Celokupan integrand
integrand = numerator / denominator
# Izračunavanje integrala
integral_result = integrate(integrand, x)
# Ispis rezultata
print("Rešenje integrala je:")
print(simplify(integral_result))
Rešenje je:
Rešenje integrala je: (8/3)*(x - 2)**(3/2)*(x - 1)**(3/2)
Najverovatnije da je pin kod 8328 ili 3132
JER….
Razmatramo izraz:
$$I(x) = \frac{8}{3} (x – 2)^{\frac{3}{2}} (x – 1)^{\frac{3}{2}}$$
Želimo da nađemo celo brojno rešenje \(x \in \mathbb{Z}\) takvo da je \(I(x)\) četvorocifreni ceo broj bez ostatka.
Primetimo da možemo zapisati:
$$I(x) = \frac{8}{3} \left[(x – 2)(x – 1)\right]^{\frac{3}{2}}$$
Ovo znači da je vrednost izraza određena proizvodom \(y = (x – 2)(x – 1)\).
Da bi izraz \(I(x)\) bio racionalan (a naročito ceo broj), potrebno je da koren iz \(y\), tj. \(\sqrt{y}\), bude racionalan broj, odnosno da \(y\) bude potpuni kvadrat:
$$y = (x – 2)(x – 1) = x^2 – 3x + 2 = k^2, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Međutim, za ceo broj \(x\), izraz \(x^2 – 3x + 2\) veoma retko može biti potpuni kvadrat. Ako pokušamo za uzastopne vrednosti \(x\), vidimo da ovaj kvadratni izraz ne daje potpune kvadrate, jer su \(x-2\) i \(x-1\) susedni brojevi, i njihova multiplikacija ne može biti savršen kvadrat osim u trivijalnom slučaju kada \(k=0\).
Zbog toga, za ceo \(x\), izraz \(I(x)\) neće biti ceo broj osim u trivialnom slučaju gde je integral nula (što nije četvorocifren broj). Dakle, nema celobrojnih vrednosti \(x\) za koje je \(I(x)\) četvorocifreni ceo broj bez ostatka.