Liber abbaci – Leonardo Pisano

Fibonacci’s
Liber Abaci

Srpski prevod uvodnog dela iz predgovora italijanskog prevodioca, odlomka originalnog prologa, kao i izabranog dela Dvanaestog poglavlja iz dela Liber abaci Leonarda iz Pize.

Predgovor:

„Liber abaci“ je jedno od najvažnijih matematičkih dela srednjeg veka. Njegov uticaj bio je ogroman u širenju hinduističkog brojevnog sistema i metoda algebre širom Evrope.
Ovo je prvi prevod latinskog rukopisa Liber abaci na savremeni jezik.
Nadamo se da će njegova dostupnost istoričarima, matematičarima i široj javnosti doprineti boljem razumevanju ovog dela našeg kulturnog nasleđa.
Matematika i nauka su, uostalom, isto toliko deo naše kulture kao i književnost, umetnost i muzika.
Jednako je važno da čovek poznaje klasike matematike i nauke, kao što je važno da poznaje klasike književnosti i umetnosti.

Leonardo iz Pize, danas poznat matematičarima i naučnicima širom sveta kao Fibonači, bio je građanin pomorske gradske države Pize, od oko 1170. godine pa sve do perioda posle 1240.
To je bilo vreme krstaških ratova, jakih političkih sukoba između cara Fridriha II iz Svetog rimskog carstva i Papstva, kao i vreme verskog zanosa svetog Franje Asiškog.

Italijanske pomorske republike — Piza, Đenova, Venecija i Amalfi — bile su u neprekidnom trgovačkom nadmetanju širom Mediterana, uključujući Vizantiju i muslimanske zemlje.

Leonardo je još u mladosti učio matematiku u Bugiji, trgovačkoj koloniji koju je osnovala Piza na afričkoj obali Barbary, u zapadnom muslimanskom carstvu.
Kasnije je svoj matematički razvoj nastavio kroz putovanja i studije u Egiptu, Siriji, Provansi i Vizantiji.
Uspostavio je veze sa naučnicima iz celog mediteranskog sveta.
Postao je stručan u Euklidovim Elementima i u grčkom metodu definicija, teorema i dokaza.
Od arapskih naučnika naučio je hinduističke brojeve i njihov pozicioni sistem, kao i algoritme za računanje osnovnih operacija.
Takođe je usvojio metodu algebre, naročito onu sadržanu u delu al-Horezmija.

Kroz svoja putovanja, proučavanja i učenim raspravama sa svetskim naučnicima, Leonardo je postao izuzetno kreativan matematičar.
Učestvovao je na naučnom dvoru Fridriha II, koji je tražio i podržavao velike umove 13. veka.
Leonardo je, svojom naučnom pronicljivošću, jasno sagledao prednosti muslimanske matematičke tradicije, naročito njihove hinduističke cifre i decimalni pozicioni sistem, računske algoritme i algebru.

Znanje o hindu brojevima počelo je da prodire u Evropu u drugoj polovini 10. veka, preko Arapa i Španije, ali njihova primena još nije bila uobičajena u Leonardovo vreme.

Zato je Leonardo odlučio da napiše svoje enciklopedijsko delo „Liber abaci“, kako bi italijanskom narodu preneo najbolju svetsku matematiku u praktičnom obliku.

Računanje je jedna od ljudskih delatnosti prisutna još od najdavnijih vremena.
Ono je vremenom postajalo lakše zahvaljujući različitim mehaničkim pomagalima, koja su u grčko-rimskom periodu poprimila oblik abakusa.
Najpoznatiji oblik abakusa sastojao se od drvenog rama sa niskama žica na kojima su bile kuglice koje su služile kao brojači.
Efikasnost abakusa potvrđena je njegovim opstankom i upotrebom u pojedinim delovima sveta čak i danas.
Postojale su i ranije varijante abakusa, napravljene od drvenih ili mermernih ploča, sa urezanim linijama po kojima su se pomerale male kamenčiće (žetoni).
Drugi oblik je koristio prah ili pesak, po kom se crtalo prstom.

U XVII veku, Blez Paskal i Gotfrid Lajbnic konstruisali su prve mehaničke računske mašine.
Danas, naravno, imamo elektronske digitrone i složene računare koji nam pomažu u proračunima.
Jeftini džepni digitron današnjice je u suštini moderni abakus.

Hindusi i Arapi koristili su pisane brojeve sa pozicionim sistemom i metode za osnovne računske operacije koje nisu zahtevale upotrebu abakusa.
Nasuprot tome, rimski brojevi i drugi slični sistemi pisanja brojeva nisu pogodovali računanju.
Računanja su se obavljala pomoću abakusa, a rezultati su se zapisivali rimskim brojevima.
Suprotno tome, hinduistički brojevi sa pozicionim sistemom koristili su se i za računanje i za zapisivanje rezultata.
To su upravo one metode koje se danas uče u školama, kada deca vežbaju sabiranje, množenje, oduzimanje i deljenje olovkom i papirom.

U srednjovekovnoj Evropi, ove nove pisane metode nazivane su algoritmi, da bi se razlikovale od računanja na abakusu.
Leonardo ove metode podučava upravo u ovoj knjizi, Liber abaci.
Ove pisane metode računanja, algebre i praktične matematike uopšte, bile su u Italiji u srednjem veku poznate pod nazivom abaka (abaca).

Liber abaci, ili Knjiga o računanju, prvi put se pojavila 1202. godine, a zatim ponovo u drugom izdanju 1228.
Leonardova jasno iskazana namera bila je da italijanskom narodu predstavi hinduistički brojevni sistem i način rada s njim.
Međutim, Liber abaci je mnogo više od puke uvodne knjige o hindu brojevima i njihovim algoritmima.
To je enciklopedijsko delo, koje obuhvata veliki deo tada poznate matematike 13. veka: aritmetiku, algebru i rešavanje problema.
Takođe, to je i teorijsko i praktično delo; metode koje koristi Leonardo čvrsto su utemeljene u Euklidovim geometrijskim dokazima.

Ne treba se zavaravati time što ova knjiga ne koristi moderne matematičke simbole i pomisliti da nije reč o kvalitetnoj i rigoroznoj matematici.
Matematika se ne meri po simbolima kojima je zapisana.
Liber abaci je bila dobra matematika u vreme kada je napisana, i ostala je dobra matematika i danas.
To je ozbiljno matematičko delo iz oblasti aritmetike i primenjene matematike, koje je napisao vrhunski i originalni matematičar.

Treba ovde još jednom naglasiti da, iako reč abaci potiče od reči abakus, u 13. veku se ona paradoksalno odnosila na računanje bez abakusa.
Zato Liber abaci ne treba prevoditi kao Knjiga o abakusu.
Maestro d’abaka bio je osoba koja je računala direktno hindu brojevima, bez upotrebe abakusa, a abaka je bila disciplina takvog računanja.

Leonardova namera bila je da rimsku numeraciju zameni hindu brojevima, ne samo među naučnicima, već i u trgovini i svakodnevnom životu običnog naroda.
U toj nameri uspeo je možda i više nego što je mogao da zamisli.
Italijanski trgovci preneli su ovu novu matematiku i njene metode širom mediteranskog sveta.
Nova matematika proširila se i u Nemačku, gde su je širili „kosisti“, što je iskrivljeni oblik italijanske reči cosa („stvar“) – oznake za nepoznatu u algebri.

Tokom otprilike tri veka, nastavni plan zasnovan na Leonardovom delu Liber abaci predavao se u Toskani, u tzv. školama abake, koje su obično pohađali dečaci koji su želeli da postanu trgovci, ili oni koji su želeli da nauče matematiku.
Pored Leonarda, i drugi učitelji — uključujući i vrlo dobre matematičare — pisali su knjige o abaci za upotrebu u tim školama.
Te knjige variraju po složenosti — od prostih priručnika s pravilima do kvalitetnih matematičkih dela, ali nijedna od njih nije bila tako sveobuhvatna, teorijski utemeljena i izvrsna kao Liber abaci Leonarda Pizanskog.

Leonardo je napisao i druga značajna matematička dela:

• Liber quadratorum (Knjiga o kvadratima, 1225),
• Practica geometriae (Praktična geometrija, 1223),
• Flos i Epistola ad Magistrum Theodorum (Pismo učitelju Teodoru, 1225).

Od svih tih dela, najbolje svedočenje o njegovoj matematičkoj moći daje Liber quadratorum, odnosno Knjiga o kvadratima.
Ovo delo se, s pravom, može smatrati sponom između Diophantovih dela i radova Pjera Fermata u oblasti teorije brojeva — i potvrđuje Leonardovu snagu kao kreativnog matematičara.

Liber abaci je impresivno delo iz aritmetike, algebre i primenjene matematike, koje se oslanja na teorijsku osnovu Euklidove matematike.
Opšti metodi u knjizi potkrepljeni su geometrijskom algebrom iz druge knjige Euklidovih Elementa, dok se za osnove teorije kvadratnih iracionalnih brojeva Leonardo oslanja na desetu knjigu Elementa.

Kroz Liber abaci, Leonardo izlaže dokaze za:

• stare metode,
• metode preuzete iz arapskog sveta,
• i sopstvene originalne doprinose.

Takođe uključuje i uobičajene, nealgebarske metode rešavanja problema srednjeg veka, kojima daje matematičku legitimnost putem svojih dokaza.
Među njima su:

• provera računa metodom izbacivanja devetki (casting out nines),
• razna pravila proporcije,
• metode poznate kao jedna i dvostruka pogrešna pretpostavka (single & double false position).

Pored toga što podučava sve neophodne metode aritmetike i algebre, Leonardo u Liber abaci pruža i bogatstvo primena matematike u raznim poslovnim i trgovačkim situacijama:

• konverzija jedinica novca, težine i zapremine,
• metode trampe,
• trgovačka partnerstva i raspodela dobiti,
• legiranje novca,
• ulaganje kapitala,
• prosti i složeni interes.

Zadaci o trgovini pružaju dragocen uvid u srednjovekovni svet.
Mnogi problemi u knjizi nisu samo praktični, već i ukazuju na snagu i lepotu Leonardove matematike, zapaženi su po živoj slikovitosti izraza i dovitljivosti rešenja.

U predgovoru Liber abaci, Leonardo izlaže kako je kroz putovanja i učenje spoznao da je hinduistički brojevni sistem i način računanja nadmoćan svim drugim tadašnjim metodama, i da želi da ga prenese italijanskom narodu kroz ovo delo.
Naglašava da za sve metode koje koristi daje dokaze zasnovane na Euklidovim principima.
Podseća čitaoca da je za postizanje veštine neophodno učenje i vežba.

Leonardo daje sadržaj celog dela, a na početku svakog poglavlja sadržaj je dodatno proširen sa detaljnim opisima.

U prvom poglavlju, predstavljeno je deset cifara hinduističkog brojevnog sistema, uključujući i nulu, koju Leonardo naziva zephir, prema arapskom izrazu.
Objašnjen je pozicioni sistem, pomoću kojeg se svi brojevi — bez obzira na veličinu — mogu zapisati samo pomoću ovih deset cifara.
To je naš poznati decimalni pozicioni sistem, u kojem broj na prvoj (desnoj) poziciji označava jedinice, broj sleva označava desetice, sledeći stotice, potom hiljade — i tako dalje.
Nula, ili zephir, sama po sebi ne označava količinu, ali služi kao čuvar mesta.
Veliki brojevi grupisani su po tri cifre, radi lakšeg čitanja.

Iako nam se danas decimalni sistem i algoritmi za sabiranje i ostale operacije čine uobičajenim, za Evropu XIII veka ova knjiga je predstavljala novi i revolucionaran način računanja.

Rukopis Magliabechiano, C. I, 2626, Badija Fiorentina, br. 73
Baldasare Bonkompanji
Rim, Štamparija za matematičke i fizičke nauke
Ulica Lata, broj 211, 1857.

Ovde počinje Knjiga o računanju,
koju je sastavio Leonardo iz Pize, iz porodice Bonai,
godine 1202.

Prolog:

Ti, moj gospodaru Majkle Skote [1], najuzvišeniji filozofe, pisao si mom gospodaru [2] o knjizi o brojevima koju sam pre izvesnog vremena sastavio i tebi prepisao; te sam, uvažavajući tvoje primedbe i tvoje suptilnije i pažljivije ispitivanje, na tvoju čast i na korist mnogih drugih, ovu knjigu s uspehom ispravio.
U toj ispravci dodao sam određene neophodnosti, a uklonio izvesne suvišnosti.
U njoj sam izložio potpuno uputstvo o brojevima, u skladu s metodom Indijaca [3], čiji sam izvanredan način odabrao za ovu nauku.

A pošto su aritmetika i geometrija međusobno povezane i podržavaju jedna drugu, potpuno razumevanje brojeva ne može se predstaviti bez upuštanja u geometriju, niti bez uvida da je rad sa brojevima na ovaj način veoma blizak geometriji; metoda je ispunjena brojnim dokazima i demonstracijama koje se prikazuju pomoću geometrijskih figura [4].

Zaista, u drugoj knjizi koju sam napisao o praktičnoj geometriji [5] objasnio sam to i mnoge druge stvari koje se odnose na geometriju, svaku potkrepljenu odgovarajućim dokazom.

Svakako, ova knjiga se više oslanja na teoriju nego na praksu.
Stoga, ko god želi istinski da savlada praktični deo ove nauke, mora se revnosno posvetiti stalnoj upotrebi i istrajnoj vežbi, jer se nauka kroz praksu pretvara u naviku.
Pamćenje, pa čak i opažanje, usklađuju se s rukama i figurama, koje – kao impuls i dah – u jednom istom trenutku deluju gotovo jednako i prirodno idu zajedno za svakog; tako će se stvoriti učenik navike, koji će korak po korak lako dostići savršenstvo.

A da bi se teorija lakše razotkrila, podelio sam ovu knjigu na petnaest poglavlja, kako bi svako ko je bude čitao to lako mogao uočiti.

Na kraju, ukoliko se u ovom delu pronađe neka manjkavost ili nedostatak, prepuštam ga tvojoj ispravci.

Pošto je moj otac bio javni službenik daleko od naše domovine, u carinarnici u Bugiji, osnovanoj za pizanske trgovce koji su se tamo često okupljali, u mladosti me je pozvao k sebi [6], želeći mi obezbediti korisnu i ugodnu budućnost.
Tamo je želeo da se posvetim učenu iz matematike i da budem podučavan izvesno vreme.

Upravo tamo, izvanredna pouka iz veštine devet indijskih cifara toliko mi se dopala, nad svime ostalim, da mi je upoznavanje i razumevanje te umetnosti postalo najmilije.
Učio sam je od svih onih koji su je poznavali: iz Egipta, Sirije, Grčke, Sicilije i Provanse, i njihovih različitih metoda, u koje sam se kasnije i sam temeljno udubio, putujući radi učenja i prisustvujući okupljenim raspravama.

Ipak, u celini gledano, algoritam pa čak i pitagorejske kružnice [7], činile su mi se gotovo kao zabluda u poređenju sa indijskom metodom.
Zato sam, potpuno prigrlivši indijsku metodu i posvetivši se njenom izučavanju, dodajući nešto iz svog razumevanja, a još više iz suptilne Euklidove geometrijske umetnosti, primenjujući sve što sam uspeo da spoznam — nastojao da ovu knjigu sastavim u petnaest posebnih poglavlja, pokazujući određene dokaze za gotovo sve što sam u nju uneo.

Tako je ova metoda, uzdignuta iznad svih ostalih, ovim delom prenesena željnima znanja, a italijanskom narodu, više nego bilo kome drugom, koji su do sada ostali bez i najmanjeg znanja o njoj.

Ako sam, pak, slučajno nešto manje ili više primereno ili neophodno izostavio, molim za tvoju blagonaklonost, jer niko nije bez greške, niti u svemu savršeno oprezan.

Ovde se završava Prolog i započinju Poglavlja.

• O prepoznavanju devet indijskih cifara i kako se svi brojevi pišu pomoću njih; i kako se brojevi moraju držati na prstima ruku, te o uvodu u računske operacije.
• O množenju celih brojeva.
• O sabiranju celih brojeva, jednog s drugim.
• O oduzimanju manjih brojeva od većih.
• O množenju celih brojeva s razlomcima, kao i razlomaka među sobom.
• O sabiranju, oduzimanju i deljenju celih brojeva s razlomcima, kao i o svođenju razlomaka na jedinstvene delove.
• O kupovini i prodaji trgovačke i slične robe.
• O trampi trgovačke robe, o kupovini novca i o izvesnim pravilima koja se toga tiču.
• O udruživanju u trgovačka društva između više strana.
• O legiranju (mešanju) novca i pravilima koja se na legiranje odnose.
• O rešavanjima mnogih postavljenih problema koje nazivamo „pogrešna pretpostavka“ (falsa positio).
• O pravilu elchataym (al-khata’ayn), kojim se rešavaju gotovo svi problemi sa pogrešnom pretpostavkom.
• O pronalaženju kvadratnog i kubnog korena, te o množenju, deljenju i oduzimanju istih, kao i o rukovanju binomima i apotomima i njihovim korenima.
• O pravima koja se tiču geometrijskih proporcija; o problemima algebre i elmuqabale [8].

Fusnote za Predgovor:

[1] Majkl Skot (Michael Scott) bio je filozof i naučnik sa interesovanjem za nauku na dvoru Fridriha II. Dante ga pominje u nelaskavim izrazima u Paklu (Inferno). U blizini reke Arno u Pizi nalazi se park nazvan po Majklu Skotu. U tom parku se nalazi statua koja predstavlja Leonarda Pizanskog. Statua je postavljena u 19. veku i samo nagađa kako je Leonardo Pizanski mogao izgledati.

[2] Fridrih II je bio car Svetog rimskog carstva u 13. veku i pokrovitelj matematike, nauke, kao i umetnosti.

[3] Leonardo naziva hinduističke brojeve “indijskim ciframa”.

[4] Leonardo je uložio veliki trud da svoja izlaganja hinduističkih i arapskih metoda učini strogo utemeljenim prema Euklidovim kriterijumima dokaza. Njegov Liber abaci se po tome razlikuje od mnogih kasnijih priručnika o brojevima i računanju koji su bili isključivo receptivni (tj. davali samo pravila bez dokaza).

[5] Practica geometriae, 1220. godine.

[6] Ova kratka i intrigantna autobiografija predstavlja najveći deo onoga što je poznato o životu Leonarda Pizanskog. Engleski prevod ovog autobiografskog dela dao je Ričard E. Grim (Richard E. Grimm) u časopisu The Fibonacci Quarterly [DG2].

[7] Pitagorejske lukove (Pythagorean arcs) pominje Gerbert (oko 980), koji je kasnije postao papa Silvestar II (999). Gerbert je koristio indijske brojeve na pločicama, na primitivnom abakusu, i označavao trojke kolona lukovima. Ti lukovi su nazivani pitagorejskim. Leonardo je u pisanju brojeva sledio ovaj sistem trojki, kao što i mi danas radimo, npr. 1,234,567,890. Vidi str. 80 u History of Mathematics Vol. II D. E. Smita [Sm]. Vidi i str. 96 u knjizi Ettorea Pikutija (Sul Numero e la sua Storia) — zanimljivoj i tačnoj istoriji porekla i razvoja brojeva [P3].

[8] Leonardo koristi izraze „proporcija i povraćaj” za značenje termina algebra i almuchabala. U stručnoj literaturi postoji mnogo tumačenja šta tačno znače algebra i almuchabala. Na primer, Moris Klajn (Morris Kline) u svojoj knjizi Matematička misao od antičkog do modernog doba (Mathematical Thought from Ancient to Modern Times) prevodi ove izraze kao „povraćaj i uprošćavanje”.

Bez obzira na tačno odabrane reči u prevodu, svi oni se odnose na manipulaciju jednačinama, tj. izvođenje operacija na obe strane jednačine i spajanje sličnih članova radi pojednostavljenja izraza. Ove algebarske metode Leonardo uvodi u Liber abaci još pre 15. poglavlja, kako bi rešavao linearne jednačine.

Ova metoda se nazivala direktna metoda, a pripisuje se arapskim matematičarima čija su dela prevedena na latinski još pre 13. veka — kao što je čuveno delo al-Hvarizmija (al-Khwarizmī) pod nazivom al-Ǧabr wa’l-Muqābala (Pravila povraćaja i smanjenja), napisano oko 830. godine (vidi: The Algebra of Mohammed Ben Musa, prevod Frederika Rozena [K]).

Sam naziv „algebra” (al-Ǧabr) potiče upravo iz te knjige al-Hvarizmija. Kao što smo videli, metoda uključuje: uvođenje nepoznate (tzv. „stvar”, „deo” ili „zbir”), formulisanje jednačina i njihovo rešavanje.

Ime Abu Dža‘far Muhamed ibn Musa al-Hvarizmi (oko 790–840) pojavljuje se u margini rukopisa pod oblikom Maumeht. Njegovo ime ukazuje da su on ili njegova porodica verovatno poticali iz oblasti Hvarizm, jugoistočno od Aralskog mora — danas deo Uzbekistana.

Bio je naučnik u „Kući mudrosti” u Bagdadu, kao i dvorski astronom kalifa. Napisao je više knjiga, među kojima su i:

• Kitab al-Ǧabr wa’l-Muqābala (oko 825),
• Algoritmi de numero Indorum (O indijskoj umetnosti računanja),
• Astronomske tabele al-Hvarizmija II.

Leonardo s pravom u svom tekstu pripisuje algebru i almuchabalu al-Hvarizmiju. Njegovo izlaganje rešenja kvadratnih jednačina u 15. poglavlju Liber abaci veoma verno prati al-Hvarizmijev pristup.

Poglavlje 1

Ovde počinje prvo poglavlje.

Devet indijskih cifara su:
9 8 7 6 5 4 3 2 1.

Pomoću ovih devet cifara i znaka 0, koji Arapi nazivaju zephir [1], može se zapisati bilo koji broj, kako će se u nastavku pokazati.
Broj je zbir jedinica, ili skup jedinica, i njihovim sabiranjem brojevi se uvećavaju u beskonačnom nizu koraka.

Prvo, od jedinica se formiraju brojevi od 1 do 10.
Drugo, od desetica se formiraju brojevi od 10 do 100.
Treće, od stotina se dobijaju brojevi od 100 do 1000.
Četvrto, od hiljada se formiraju brojevi od 1000 do 10.000, i tako dalje — beskonačnim nizom, svaki broj se gradi dodavanjem prethodnih vrednosti.

Pisanje broja počinje s desne strane.
Drugo mesto je levo od prvog, treće levo od drugog, četvrto levo od trećeg, i tako redom.
Dakle, cifra u prvom mestu (s desna) označava svoju pravu vrednost:
– ako je tu cifra 1, ona označava jedan,
– ako je 2, označava dva,
– ako je 3, označava tri,
– i tako redom do 9.

Cifre koje se nalaze na drugom mestu označavaju desetice:
– ako se cifra 1 nalazi na drugom mestu, označava deset,
– cifra 2 označava dvadeset,
– cifra 3 označava trideset,
– cifra 9 označava devedeset.

Cifra na trećem mestu označava stotine, baš kao što druga označava desetice, a prva jedinice:
– cifra 1 označava sto,
– cifra 2 označava dvesta,
– cifra 3 označava trista,
– cifra 9 označava devetsto.

Cifra na četvrtom mestu označava hiljade, kao što prethodne označavaju stotine, desetice i jedinice.
I tako se brojevi povećavaju promenom mesta i dodavanjem cifara.

Pošto je ovo načelo sada jasno, sledi i praktičan primer:

Ako se cifra 7 nalazi na prvom mestu, a cifra 3 na drugom, zajedno označavaju broj 37.
Ako zamenimo mesta, 3 na prvom, a 7 na drugom — broj je 73.

Opet, ako je 4 na prvom mestu, a 1 na drugom, to je broj 14 (tj. XIIII).
Ako je obrnuto — 1 na prvom mestu, a 4 na drugom, onda je broj 41 (tj. XLI).

Ako su na prvom mestu 2, a na drugom 7, dobijamo broj 72; ako ih zamenimo — 27.

Ako želimo da napišemo broj 70, stavljamo 0 na prvo mesto, a 7 na drugo: → 70.
Ako želimo 80, zephir (nula) ide prva, a 8 posle nje → 80.

Ovim primerima pokazuje se kako se dvocifreni brojevi (od 10 do 99) mogu pisati pomoću dvije cifre.

Pomoću tri cifre možemo pisati brojeve od 100 do 999.
Na primer:

• Ako je 8 na prvom mestu, 5 na drugom, a 1 na trećem → broj je 158.
• Ako je raspored 1-5-8 → 851.
• Ako je 8-1-5 → 518.
• Ako je 5-8-1 → 581, itd.

Tri cifre, dakle, daju veliki broj kombinacija:
– 1-1-1 daje 111,
– 5-0-0 daje 500,
– 2-0-9 daje 209,
– 0-9-2 daje 290, itd.

Kao što je pokazano, bilo koji broj između 100 i 1000 može se napisati sa tri cifre.
A brojevi od 1000 do 10.000 pišu se sa četiri cifre.

Svi prethodno navedeni primeri ilustrovaće se i konkretnim ciframa u nastavku.

(I tako je sve počelo….)

Fusnota uz prvo poglavlje:

[1] Leonardo koristi latinizovanu arapsku reč zephirum, a ne reč nihil za nulu. Ovo pokazuje da Leonardo preuzima pojam nule iz arapskog izvora. Odlučili smo se da prevodimo ovom rečju zephir umesto nula kako bismo to naglasili. Savremena engleska reč zero potiče upravo od zephir.

Poglavlje 12

O pravilu elchataym (al-khata’ayn), kojim se rešavaju gotovo svi problemi sa pogrešnom pretpostavkom.

….

Koliko parova zečeva proizvede jedan par za jednu godinu

Strana 404-405 engleskog prevoda.

Jedan čovek je imao jedan par zečeva u određenom ograđenom prostoru, i želi se znati koliko parova nastane iz tog para za jednu godinu, pod uslovom da je njihova priroda takva da svaki mesec svaki par rodi novi par, a oni rođeni od drugog meseca takođe rađaju.

Pošto je gore pomenuti par u prvom mesecu rodio, udvostručujemo ga; u jednom mesecu imaće dva para. Jedan od tih, tačnije prvi, rodi u drugom mesecu, i tako u drugom mesecu ima 3 para; od tih parova, u narednom mesecu dva su trudna, i u trećem mesecu se rode 2 nova para, pa ima ukupno 5 parova; u tom mesecu tri para su trudna, i u četvrtom mesecu ima 8 parova, od kojih 5 para rodi još 5 parova; oni se dodaju na 8 parova i ukupno ima 13 parova u petom mesecu; tih 5 parova koji se rode u ovom mesecu ne mogu da se pare u tom istom mesecu, ali još 8 parova je trudnih, i tako u šestom mesecu ima 21 par; [str. 284] na to se dodaje 13 parova koji se rode u sedmom mesecu; u tom mesecu ima 34 para; na to se dodaje 21 par koji se rodi u osmom mesecu; u tom mesecu ima 55 parova; na to se dodaje 34 para koji se rode u devetom mesecu; u tom mesecu ima 89 parova; na to se opet dodaje 55 parova rođenih u desetom mesecu; u tom mesecu ima 144 para; na to se opet dodaje 89 parova rođenih u jedanaestom mesecu; u tom mesecu ima 233 para. Na to se dodaje i 144 para rođenih u poslednjem mesecu; na kraju godine biće ukupno 377 parova, i toliko parova proizvede gore pomenuti par u navedenom mestu nakon jedne godine.

Možete videti u margini kako smo računali, naime da smo dodavali prvi broj drugom, tj. 1 i 2, zatim drugi trećem, treći četvrtom, četvrti petom, i tako redom jedan za drugim dok nismo dodali deseti broj jedanaestom, tj. 144 i 233, i dobili gore pomenuti zbir zečeva, tj. 377, i tako to možete nastaviti za neograničen broj meseci.

…